介绍克莱因瓶
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在1882年,著名数学家菲立克斯·克 莱因(Felix Klein)发现了后来以他的名字命 名的著名"瓶子"。这是一个象球面那样 封闭的(也就是说没有边)曲面,但是它 却只有一个面。在图片上我们看到,克莱 因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶 底,它的瓶颈被拉长,然后似乎是穿过了 瓶壁,最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如 果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相 连的话,我们就会得到一个轮胎面。
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我们可以说一个球有两个面--外面和内面,如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行,那么如果它不在球面上咬一个洞,就无法爬到内表面上去。轮胎面也是一样,有内外表面之分。但是克莱因瓶却不同,我们很容易想象,一只爬在"瓶外"的蚂蚁,可以轻松地通过瓶颈而爬到"瓶内"去--事实上克莱因瓶并无内外之分!在数学上,我们称克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流型,而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。