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1994年冬天的一个下午，北京中关村五所大楼高等科学科技研究中心报告厅内， 一位年逾70 的大科学家正在作一场关于分形(fractal)的报告。此人戴着一双宽大的眼镜，圆滚的“将军 肚儿”微微向前挺起，颇像复平面上那个经过渲染的宝葫芦(指M集)。他拖着浓重的法国口音，用英语自信地讲述着分形几何学的最新进展，这门学科起初几乎是他一人独自开创的。他不时 打量一下前排就坐的他的妻子和来自中国科学院理论物理所与北京大学的众多非线性科学专家，当然还有 数量更多的年轻研究生们，这些人没准会成为他的门徒。主讲人时而觉得太冷，急忙穿上外套,时而觉得 太热，又脱掉外套，在半个小时内竟这样重复了三四次之多。这多少有些奇怪的举止惹得学生小声议论起 来，而负责报告厅空调设备的工作人员则局促不安地随着报告人的每次穿脱外套，走向室内两个高大立式空调前扭动几下旋扭。
　　此人便是长期在IBM沃森中心供职、赫赫有名的芒德勃罗(Benoit elbrot, 1924- )教授，那位在多种学科“流浪”了20余年才得到学界广泛承认的分形之父，那位 近些年来不断 得到各种荣誉和奖励但也到处与同行发生争执的人物。
　　他只是个性有些特别，对中国以及中国人并无恶意。1996年8月他再次来访中国 参加李政道主持的题为“简单与复杂”的国际学术研讨会。对于中国文化和文字他还有几分向往，他称中 国文字个个是图形，这正合他的几何学思维方式，只可惜一个也不认识。据说，经他从中斡旋，他的名著 《大自然的分形几何学》(The Fractal Geometry of Nature,1982)中 译本在中国首次印行可以免收版税。但遗憾的是，时过多年，译 本还未面世。大约9年前就 听说译本不久行将出版。(上海远东出版社1999年已经出版此书中译本。)
　　家庭背景与成长经历
　　波努瓦·芒德勃罗1924年11月20日生于波兰华沙，祖籍是立陶宛犹太人。据一位 语言学家讲，在立陶宛语中“Man”读作“芒”，所以这里不译作“曼”。波努瓦的父亲是成衣商，母 亲是牙科医生 。
　　出于对地缘政治现实的警觉，1936年在他11周岁时举家迁往巴黎。这也部分是受 其叔父佐列 姆·芒德勃罗伊(Szolem Mandelbrojt,1899-1983)的吸引，当时佐列姆是法国的一位数 学家。佐列姆通过阅读庞加莱 (Jules-Henri Poincare，1854-1912)和阿达马(Jacques-Salomon Hadamard,1865-1963)的著作学会法语，他到法国是因为法国是经典分析的摇 篮。
　　芒德勃罗的父亲很骄傲已经将佐列姆扶养大，佐列姆是父亲最小的弟弟，比他小 16岁之多。 父亲是位很重学问的人，祖上几代人也都是学者。“事实上家庭里每个人都像一位学者或者 期望成为一位学者，至少部分时间是这样。”［４］不幸的是，许多学者都忍饥挨饿。
　　芒德勃罗的父亲是很实际的人，他发现最好能拥有一个固定职业。他的工作是做 衣服并卖衣服，他并不喜欢这个职业，然而他认为：一个学者的独立性和幸福最好建筑在一份具有不同来源的稳定收入基础之上，特别是这种收入对于世界性大灾难不能过分敏感。成衣商这种职 业当然是一 个好的选择，因为无论什么时候人们都得穿衣服!
　　中学时，波努瓦的数学与科学成绩在班上相当出色。高中毕业后，由于家庭生活 拮据，加上 他不喜欢大城市，于是在家里待了一段时间，没有接着读高等院校。芒德勃罗解释说，这段时间里他“拎着一些破旧而过时的书籍，以他自己的方式学习着，自我猜测着许多事情，做 任何事均不 采取理性或者半理性的方式，但这样却培养了自己极大的独立性和自信心”。
　　当问及一生中何人、何事对他影响最大时，芒德勃罗说，“对我影响最大的是我 的一个叔叔 ［佐列姆］。作为一个杰出的数学家，这位叔叔以矛盾的方式影响着我。对我影响最大的事件则是本世纪的［战争］灾难，它们不断影响着我接受正规的学校教育。我所受到的教育基 本上是浑沌 的。”
　　“1929年，当时我5岁，我叔叔佐列姆·芒德勃罗伊成为克莱蒙特-弗兰特 (Clermont-Ferr and)大学的教授。当我13岁时他升任阿达马的继承人位置，成为巴黎法兰西学院勒贝格(Hen ri Leon Lebesgue,1875-1941)的同事。因此，我总是能够分享父辈们生活中以及创建新数学过程中遇到的许多事情。阿达马、勒贝格、蒙泰尔(Paul Montel,1876-1975)及当儒瓦(Arnaud Denjoy,1884-1974)都是关系不太远的叔伯。当我还是一个小孩子时，就曾学着拼写高斯的名字，为我叔叔写的一本书寻找印刷错误。”
　　第二次世界大战爆发了，在纳粹到来之前，全家不得不扔掉一切，只拎了几只箱 子，加入难 民潮，一起从巴黎向南涌到逃难的马路上。最后到了土湟(Tulle)镇。芒德勃罗的经历与另一位浑沌探索者利比查伯(Albert Libchaber，法国实验物理学家，用小盒中的氦对流实验 验证了周期倍 化分岔)相仿。利比查伯是波兰犹太人的儿子，战争中也采取了与芒德勃罗相似的办法得以幸存。
　　1944年，芒德勃罗以班级第一名的身分通过了法国著名的“两校”入学考试,被 高等师范学校录取。“我20岁时，尽管完全缺乏正式准备，在盛大的法国考试中却表现极佳。我叔叔想当然地认为我这个有天赋的侄儿准走他的道路，将来搞数学研究。”这两校指 “高等师范学校” (Ecole Normale Superieure)和“综合工科学校”(Ecole Polytec hnique)，名字在今天听起来，远比不上我们熟知的一堆大学，但却是法国最好的大学，也 属于 世界上最有名气的大学。当时这两校每年招生人数极少，考试也出了名地艰难,考试持续一个月之久。芒德勃罗回忆说，当时他的代数与分析基础并不好，但几何直觉不错，考试 时他总是设 法将代数与分析问题化成几何问题，巧妙地将它们解决，他称此为合法性“作弊 ”(cheating)。芒氏虽然考得不错，但他对法国教育中的处处考试、处处打分的习惯表示不 满，他曾嘲 笑道：“如果法国想取得国际象棋世界冠军，最好的办法也许是在综合工科学校里讲授国际象棋”。
　　芒德勃罗与其叔叔佐列姆对数学有完全不同的口味。叔叔佐列姆是一位非常经典 的分析学家 ，而波努瓦·芒德勃罗更倾向于几何，他称自己为几何学家。叔叔佐列姆认为几何是已死掉的学科，只对小孩子学数学还有一些意义，人们只有超越它才能取得天才的学术贡献。但是 芒德勃罗不 相信这种观念，也不喜欢分析学派的那种“高雅”风格。
　　佐列姆的愿望终于落空了。他始终搞不明白小芒德勃罗究竟出了什么问题，于是 对他做什么 不再感兴趣了。不过，他们还是朋友。叔叔佐列姆对芒德勃罗的工作和生活有很大负面影响。
　　早在1914-1918年的时候，芒德勃罗的父亲希望聪明的弟弟佐列姆主修他向往的 领域——化学工程(约翰·冯·诺伊曼的父亲也希望儿子学习化工)。1939-1945年风波过后，父亲担心 弟弟的成功只 是侥幸，这次让儿子波努瓦·芒德勃罗将来作一名工程师。“因为我对所谓的 ‘几何学之死’不以为然，又因为我不喜欢以理科作替代，于是接受了父亲的建议，我特别 让自己离数 学越远越好。”
　　由于不喜欢布尔巴基学派(解释见后文)的数学，芒德勃罗在高等师范学校念了没 几天，就转 到了综合工科学校。1947年芒德勃罗从法国综合工科学校毕业。1948年获美国加州理工大学硕士学位；1952年获巴黎大学博士学位。随后几年他不断在几个学科中游荡，先后“闯入” 过物理学、 经济学、生理学、语言学和其他一些似乎毫不相关的学科。他喜欢用“intellec tual wanderer”(有知识的流浪汉)、“wandering around”(游荡)等字眼描写自己的学术 生涯和人生经 历。
　　芒德勃罗的博士学位论文显示了其从事交叉学科研究的才能。论文分两部分，第 一部分采用 数学理论研究词汇中字母的分布规律；第二部分研究热力学。将不同学科中的理论有机地组织一起，用于研究某一个特定问题，这代表着芒德勃罗科学研究工作的特色。
　　到美国后，他最先是作为麻省理工学院的一名研究助理(research associate),1958成为约 克郡高地沃森研究中心(on Research Center，IBM的一个研 究基地)物理部研究人员(staff member)。
　　芒德勃罗曾在日内瓦大学(1955-1957)，法国里尔(Lille)大学及综合工科学校 (1957-1958) 任数学讲师。曾任耶鲁大学罗宾逊(Abraham Robinson)数学科学副教授，麻省理工学院经济 学讲师和访 问教授及应用数学访问教授，哈佛大学经济学、应用数学与数学访问教授，耶鲁大学工学访问教授，爱因斯坦医学院生理学访问教授，巴黎沙特(Paris-Sud)大学数学访问 教授。1987年 成为耶鲁大学数学教授。
　　芒德勃罗因创造了原来根本不存在的分形学科而一举成名。1975年以法文出版《 分形对象： 形、机遇与维数》(Les Objets Fractals:Forme,Hasard et Dimension)，1977年以英文出版《分形：形、机遇与维数》 (Fractals:Form,Chance and Dimension)，1982年出 版《大自然的分形几何学》。最后一部影响最大，它是分形学科的宣言书， 包罗万象，显示 了将分形用于自然现象描述的重要性。到目前为止他一共写过这三部书，后面每一部都 是对前一部的修订和增补，其中相当部分是重写的。他对自己的专著的描述用词是：“普及性的 ”、“随笔 ”(Essay)、“宣言书”、“从头到尾都是序言”。最后一句是仿达西·汤普森 (D‘Arcy Thompson,1860-1948)，汤普森曾写过一部巨著《论生长与形式》，但汤氏称该书 从头到尾都是 序言。
　　据初步统计，到1989年底他已经发表了123篇论文，内容极其庞杂，涉及语言学 、概率论、 通讯工程、水利学、经济理论、金融分析、布朗运动、湍流、复迭代、宇宙学、临界现象与相变等等。
　　芒德勃罗不是传统意义上的数学家、科学家，他的经历和学术生涯史无前例。 1973年以前， 他一直不被各领域的科学家所认同，“分形理论”诞生后他的“政治”地位(他自己愿意用这样的词汇)剧变，成为世界上最有名气的科学家之一。通过因特网(Inte)，可以很好 地检验一个人 的知名度：用万维网( Ferdinand Philip Cantor,1845-1918)三分集、外尔斯特 拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass,1815-1897)不可微曲线、可充满正方形区域的皮 亚诺(Giuseppe Peano,1859-1932)曲线、 谢尔宾斯基(Waw Sierpinski,1882-1969)地毯 与海绵、柯赫( Koch,1870-1924)雪花曲线等等，都被他视为珍宝。而 这些一直被正统 科学视为少数的反例，只是在教学过程中作为一种逻辑可能性偶而提到。在分形如此流 行的今天，本文没有必要一个一个地仔细讲述这些“怪物”(芒氏视其为“宝贝”)的具体性质， 从任何一本 关于分形的书中都可以容易找到一些例子。
　　芒氏把世人的想法正好颠倒过来，他认为别人视为怪物的东西恰恰是最普通的类 型；别人视 为想当然的无比美好的点、线、面、体却是例外。长期的观察、收集与总结，使芒德勃罗获得这样一个印象：除了光滑的欧氏几何(广义的，泛指分形几何以外的标准几何)以外，应该 还有一种不 光滑的几何，这种几何更适于描写大自然的本来面目。
　　在其代表著《大自然的分形几何学》中，芒德勃罗如是说：“为什么几何学常常 被说成是‘ 冷酷无情’和‘枯燥乏味’的?原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传 播的。更为 一般地，我要指出，自然界的许多图样是如此地不规则和支离破碎，以致与欧几里得(几何)──本书中用这个术语来称呼所有标准的几何学——相比，自然界不只具有较高 程度的复杂 性，而且拥有完全不同层次上的复杂度。自然界图样的长度，在不同标度下的数目，在所有实际情况下都是无限的。这些图样的存在，激励着我们去探索那些被欧几里得搁 置在一边， 被认为是‘无形状可言的’形状，去研究“无定形”的形态学。然而数学家蔑视这种挑战，他们想出种种与我们看得见或感觉到的任何东西都无关的理论，却回避从大自然 提出的问题 。”
　　芒氏认为，分形几何学并非20世纪数学的直接“应用”。它是数学危机的一个晚 产的新领域 ，这个危机从雷蒙德(duBois Reymond)1875首次报告外尔斯特拉斯构造的处处连续而不可微 函数就已开始了。这次危机大约延续到 1925年，主要的演员是康托尔、皮亚诺、勒贝格和 豪斯多夫(Flix Hausdorff,1868-1942)。这些天才们的工作的影响，远远超出了原定的范围 。他们及其几代后继者都不 知道，在他们那些十分返朴归真的创造后面，有着一个趣味盎然的世界。
　　海岸线：最容易说明的分形
　　巴塞罗斯(Anthony Barcellos)采访芒德勃罗时问他：“分形实例中你最喜欢哪 一个?”芒氏脱口而出：“当然是海岸线例子”。随即他又补充说还有“血管分形结构”以 及“自平方龙”(复 迭代中的一个例子)等例子。他风趣地讲，实际上他不知道最喜欢哪一个，所有那些分形模型都好比他的孩子，他都喜欢，作为父亲因为所有孩子而骄傲，所有孩子 都为这个分 形之家添了光彩。“一个人可以因为不同的理由爱不同的孩子，但他不可能有真正绝对的偏爱。”
　　不管怎么说，海岸线例子还是最容易说清楚的分形实例，芒氏到处演讲，也总是 提起它，在 两部专著中也把海岸线问题放在前头讲述。
　　1967年芒氏在美国的《科学》杂志上发表长度为两页多一点的报告《英国海岸线 有多长?统 计自相似与分数维》，列出分维公式D=-logN/logr(N)，说明海岸线是一种无标度对象，用不同刻度的“尺子”去测量此类现象，可以得到完全不同的长度 结果。实际 上可以说海岸线有任意长度、无穷长度(当然从物理上看，无标度区间总有一个下限，在原子层次就不能再谈“海岸线”问题了)。这时候“长度”就不是一个特别合适 的物理量了，它 显得有点不“客观”，而分维D则是一个很好的特征量。