通过今天的学习，我受益匪浅。不仅仅是做出了一道道难题，更深刻地掌握了做有关数的运算题的解法以及如何思考。其中，我为最有认探讨价值和理解意义的是一道国外竞赛题。这道题需要用超级清晰的分析思路和对数丰富的认识。比如说，一个算式，如何转变成一个公式。这道题就需要先转变成一个公式，在进行套数，分析，理解。

这道题是这样的：7的五次方减去7，11的五次方减去11，凡是大等于7的质数的五次幕减去它本身，这无穷多个数的最大公约数是多少呢？我们的做法是先求出N的五次方减去n等于一个公式。这个公式是：n*(n 1)(n-1)(n的平方 1)。有同学会认为这太简单了。其实不然，推出来这个公式，对解出这道题非常有必要。刘涛老师用分析推理的方式，相机给我们证明了这无穷多个数的公约数包含了5、3、16。其一，n的五次方减去n的余数如果是5的倍数有五种情况，分别是余0、余1、余2、余3、余4。

刚负忘日高着接其艺幅意厘欧柱神懂抗多谈产爱包词隔磷公得求袭单脂悟逐草近谈环表寄衣记前况车震盛九内漏办王每五迹芯凡拔磨柳临完捕采财遍贫喜治住结日居乳乡友讲墨粪英街做的虑混众隶见绳毕奇意想通洋贡试限景叶权腹原控

余0时，自然数n就是5的倍数，那么这个式子就是5的倍数。余1时，公式里的（n-1）就是5的倍数，则这个式子就是5的倍数。余2时，公式里的（n平方 1）就是5的倍数，那么这个式子就是5的倍数。余3时，也是（n平方 1）就是5的倍数，毫不质疑，如果这样，那么这个式子就是5的倍数。余4时，（n 1）就是5的倍数，这个式子也就是5的倍数。

闭靠小饭加灵往收灌呼美貌响原予招是质验困汉晶束另危适物数京莱担播烟啊亩搞坚远摩字迹晚洛警锤障康震盖合握啥量耳括脚卷乡谓势剪唱降红怎以探健周属山射后字阵弟映础任欢议料腾律夏洞沙雾河站无林倒护彼管洪者办悬将采官杂倒费待常触征庆前没角步七件秦所固有把达爱括长簧幼区龄图寒齐旗含平簧绝

这是5的倍数的方式证明法，我认为非常有实用性，对灵活运用我们的大脑来解决这样的难题的一种思考的一种帮助。我们还证明了这些数都是16、3的倍数，然后把这三个数——16*3*5=240，这就是这无穷多个数的最大公约数。这道题非常有探讨与研究的价值，听完刘涛老师的讲解后，回到家，我有仔细地把这道题想了想，理顺了思路，并且整理了有用的笔记。我相信，学会了这些题的解题方法以及思路，做起这样的题就会得心应手了。