通过今天的学习，我受益匪浅。不仅仅是做出了一道道难题，更深刻地掌握了做有关数的运算题的解法以及如何思考。其中，我为最有认探讨价值和理解意义的是一道国外竞赛题。这道题需要用超级清晰的分析思路和对数丰富的认识。比如说，一个算式，如何转变成一个公式。这道题就需要先转变成一个公式，在进行套数，分析，理解。

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这道题是这样的：7的五次方减去7，11的五次方减去11，凡是大等于7的质数的五次幕减去它本身，这无穷多个数的最大公约数是多少呢？我们的做法是先求出N的五次方减去n等于一个公式。这个公式是：n*(n 1)(n-1)(n的平方 1)。有同学会认为这太简单了。其实不然，推出来这个公式，对解出这道题非常有必要。刘涛老师用分析推理的方式，相机给我们证明了这无穷多个数的公约数包含了5、3、16。其一，n的五次方减去n的余数如果是5的倍数有五种情况，分别是余0、余1、余2、余3、余4。

余0时，自然数n就是5的倍数，那么这个式子就是5的倍数。余1时，公式里的（n-1）就是5的倍数，则这个式子就是5的倍数。余2时，公式里的（n平方 1）就是5的倍数，那么这个式子就是5的倍数。余3时，也是（n平方 1）就是5的倍数，毫不质疑，如果这样，那么这个式子就是5的倍数。余4时，（n 1）就是5的倍数，这个式子也就是5的倍数。

这是5的倍数的方式证明法，我认为非常有实用性，对灵活运用我们的大脑来解决这样的难题的一种思考的一种帮助。我们还证明了这些数都是16、3的倍数，然后把这三个数——16*3*5=240，这就是这无穷多个数的最大公约数。这道题非常有探讨与研究的价值，听完刘涛老师的讲解后，回到家，我有仔细地把这道题想了想，理顺了思路，并且整理了有用的笔记。我相信，学会了这些题的解题方法以及思路，做起这样的题就会得心应手了。