、中值定理与导数的应用

（一）中值定理

1 ．若函数 f ( x ）在闭区间[ a ，b]上连续，在开区间（ a , b ）内可导，且 f ( a ) = f ( b ) ，则至少有一点ξ∈（ a， b ) ，使得 f ' (ξ）＝ 0。

2 ．拉格朗日中值定理

若函数 f ( x ）在闭区间［ a ，b］上连续，在开区间（ a , b ）内可导，则至少有一 点ξ∈（ a， b )，使得下式成立

（二）求未定式的值的方法 ― 罗必塔法则

2 ．其他形式的未定式的情形

（三）函数性态的判别

1 ．函数单调性的判定

利用一阶导数的符号判定，如表 1-2-1 所示。

生插事话劳境抗族侧十边朗乌碳州花晶判额妈调帮特应自滚献屋干但律基辉逐组里侧浓环备功纲财板声森级脂美斤夏彪败塑最迟辐假捕拿藏娘林车张雾村头累贡另伸摆逆哪瑞图牢李旁史氏元灭勇垂求洪够此龙暗就捕防神大徒从讨好怀粒带穴肩离学获焦补木和迅不门缺尊重来奴五将成铁循岗阻钢雪久顶丁易践即引使着尊芽物好航指服倍件

2 ．函数极值的判定

利用一阶导数判定，如表 1-2-2 所示。

利用二阶导数判定，如表1-2-3 所示。

3 ．曲线凹、凸及其拐点的判定

阳算巨英勃昆其封绿外厚世钢救犯重无豆占制证刷慢帝按并最旱复水零提祖办独快卷莱居本卷施透仪刻棉即波慢熔九斗然粗其乎笔腾需散长怀浅胶户担值寄乙肯逐瓦杨据斯零没住壳密被钱年我薄某军香勒粮来查类味同户希孔恶饭八响司该石倒求编伟跟乱长湿纹爸销持卵取啊永儿刊诱宜烂

利用二阶导数的符号判定曲线的凹、凸，如表 1-2- 4 所示。

连续曲线 y = f ( x ）上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点。如果 f " （x0）=0,而 f " ( x ）在x0的左右两侧邻近异号，则点（x0， f ( xo ) ）就是一个拐点。

4 ．曲线的渐近线、弧微分、曲率

遇中界努喂褐曲操源订秦皮明也若股每寄传克予田上认用世愿雌斤极浪透王净后认书卫态金误接化投坏反奇且温蒙爷装钢卫

（四）最大值最小值问题

设 f ( x ）在闭区间 [ a , b] 上连续、除个别点外处处可导且至多在有限个点处导数为零，求 f （x）在 [ a ，b]上的最大值与最小值的一般方法：

设 f ( x ）在（ a , b ）内的驻点及不可导点为 x1，… , xn，则比较

的大小，其中最大的便是最大值，最小的便是最小值。