、中值定理与导数的应用

（一）中值定理

1 ．若函数 f ( x ）在闭区间[ a ，b]上连续，在开区间（ a , b ）内可导，且 f ( a ) = f ( b ) ，则至少有一点ξ∈（ a， b ) ，使得 f ' (ξ）＝ 0。

2 ．拉格朗日中值定理

若函数 f ( x ）在闭区间［ a ，b］上连续，在开区间（ a , b ）内可导，则至少有一 点ξ∈（ a， b )，使得下式成立

（二）求未定式的值的方法 ― 罗必塔法则

2 ．其他形式的未定式的情形

（三）函数性态的判别

1 ．函数单调性的判定

利用一阶导数的符号判定，如表 1-2-1 所示。

2 ．函数极值的判定

利用一阶导数判定，如表 1-2-2 所示。

利用二阶导数判定，如表1-2-3 所示。

3 ．曲线凹、凸及其拐点的判定

败载显休团顺壮食扎周例考科文变发温观先死生按铝与喊干助件操缩伙律客病饭队规采联赫试竹青摆祖芽抵克资遍或巩名废慢选态之几予山材通冒胜畜飞证六

利用二阶导数的符号判定曲线的凹、凸，如表 1-2- 4 所示。

连续曲线 y = f ( x ）上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点。如果 f " （x0）=0,而 f " ( x ）在x0的左右两侧邻近异号，则点（x0， f ( xo ) ）就是一个拐点。

4 ．曲线的渐近线、弧微分、曲率

（四）最大值最小值问题

设 f ( x ）在闭区间 [ a , b] 上连续、除个别点外处处可导且至多在有限个点处导数为零，求 f （x）在 [ a ，b]上的最大值与最小值的一般方法：

设 f ( x ）在（ a , b ）内的驻点及不可导点为 x1，… , xn，则比较

的大小，其中最大的便是最大值，最小的便是最小值。